已知f(x)为二次函数,且f(2x+1)+f(2x-1)=16x^2-4x+6

题目

已知f(x)为二次函数,且f(2x+1)+f(2x-1)=16x^2-4x+6
求f(x)

答案

设f(x)=ax^2+bx+c
f(2x+1)+f(2x-1)=16x^2-4x+6
所以[a(2x+1)^2+b(2x+1)+c]+[a(2x-1)^2+b(2x-1)+c]=16x^2-4x+6
4ax^2+4ax+a+2bx+b+c+4ax^2-4ax+a+2bx-b+c=16x^2-4x+6
8ax^2+4bx+(2a+2c)=16x^2-4x+6
所以8a=16
4b=-4
2a+2c=6
所以a=2,b=-1,2*2+2c=6,c=1
所以f(x)=2x^2-x+1