x趋于零（1+x）的1/x次幂减去e的差除以x的极限,是等于-e/2么?怎么算的?

题目

x趋于零（1+x）的1/x次幂减去e的差除以x的极限,是等于-e/2么?怎么算的?

答案

答案是－e/2
(1+x)^(1/x)＝e^[ln(1+x)/x]
分子(1+x)^(1/x)－e＝e×[ e^(ln(1+x)/x－1)－1]
x→0时,e^x－1等价于x,所以e^(ln(1+x)/x－1)－1等价于ln(1+x)/x－1
所以,
lim(x→0) [(1+x)^(1/x)－e]/x
＝e×lim(x→0) [ln(1+x)/x－1]/x
＝e×lim(x→0) [ln(1+x)－x]/x^2
＝e×lim(x→0) [1/(1+x)－1]/2x 使用了洛必达法则
＝e×lim(x→0) [－x/(1+x)]/2x
＝－e/2
一开始直接使用洛必达法则也可