设A,B为4阶方阵,AB+2B=O,且r（B）=2,|I+A|=|2I-A|=0,证明：A可以对角化.

题目

设A,B为4阶方阵,AB+2B=O,且r（B）=2,|I+A|=|2I-A|=0,证明：A可以对角化.

答案

证：1）设B =( b1,b2,b3,b4)
因 r（B）= 2 ,则 必有两个线性无关的列向量 ,取为 b1,b2
AB+2B=O,AB= -2B,A（b1,b2,b3,b4）= -2（b1,b2,b3,b4）
b1,b2 是 上式方程的两个线性无关的解
A*b1= -2*b1,A*b2= -2*b2
即 A的属于特征值 -2 的 两个无关向量为 b1 ,b2
2）|I+A|=|2I-A|=0
由特征多项式方程 | λI - A |= 0 或 | A - λI |= 0
知A的特征值 为 -1 ,2
-1,2 ,-2 互异,特征向量无关
3） A有4 个线性无关的特征向量
故A可对角化
第一步写得比较多 ,.