菱形ABCD中,E.F.G.H分别在AB.BC,CD,AD上,且AE=AH=CF=CG

题目

菱形ABCD中,E.F.G.H分别在AB.BC,CD,AD上,且AE=AH=CF=CG
（1）求证：四边形EFGH是矩形.
（2）菱形边长1,∠B=60°,AE=x,四边形EFGH面积为y,写出y关于x的函数解析式.
（3）x为何值时,四边形EFGH为正方形?
是初二下学期周周练十七矩形、菱形的最后一题.

答案

（1）
连接菱形的对角线AC与BD,它们交于O点.
因为AE=FC,AB=BC,所以BE=BF,所以BE/BA＝BF/BC,再有∠B是公共角,所以△BEF∽△BAC ,所以EF‖AC.
同理HG‖AC,所以EF‖HG,同理可证EH‖FG
又因为AC⊥BD,∠AOB=90°,所以∠HEF=90°（这步你可以看着图再证,不太好写）
所以四边形EFGH是矩形.
（2）求出EH=根号3*x（这步可以慢慢求） EF=BE=1-x
所以y=-根号3*x^2+根号3*x
（3）当EF=EH时,四边形EFGH是正方形,即 1-x=根号3*x
解之x=（根号3-1）/2