若多项式X^2-XY-2Y^2-X-KY-6可分解为两个一次因式的积的形式,求K的值

题目

若多项式X^2-XY-2Y^2-X-KY-6可分解为两个一次因式的积的形式,求K的值

答案

先看3个二次项：
X^2-XY-2Y^2 = (X-2Y)(X+Y)
因此分解的两个一次因式必须是(X-2Y+a)(X+Y+b),这里a,b为常数项.
将乘积展开得到
X^2-XY-2Y^2-X-KY-6 = X^2-XY-2Y^2+(a+b)X-(2b-a)Y+ab
所以
a+b = -1
ab = -6
K = 2b-a
前两个等式得到a=2, b=-3或者a=-3,b=2
带入第三个等式得到K=-8或者7