已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与圆C2:(x-a)2+(y-3)2=2的一条公切线方程为x+y-2=0
题目
已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与圆C2:(x-a)2+(y-3)2=2的一条公切线方程为x+y-2=0
若a属于(0,正无穷),直线l:y=x+b,试问是否存在实数b,使得直线l与两圆都相交?若存在,求出b的取值范围,若不存在,请说明理由
答案
根据点到直线的距离公式,
r=|0+0-2|/√(1²+1²)=√2; |a+3-2|/√(1²+1²)=√2,(a>0)
得 r=√2 ; a=1
所以,C1::x²+y²=2 C2:(x-1)²+(y-3)² =2
联立:x²+y²=2和y=x+b,消 y 得 x²+(x+b)²=2,
整理得:2x²+2bx+b²-2=0,
Δ=(2b)²-4·2·(b²-2) >0, 解得 -2<b<2;
同理,联立(x-1)²+(y-3)² =2和y=x+b,解得 0<b<4
综上,b的取值范围为 0<b<2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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