求证对任意整数a,b,a+b为奇数当且仅当只有其中一个整数a或b为奇数

题目

求证对任意整数a,b,a+b为奇数当且仅当只有其中一个整数a或b为奇数
当a+b为奇数,怎证明其中一个整数a或b为奇数?

答案

反证法：
假设a,b都是奇数,a=2m+1,b=2n+1(m,n为整数)
a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1),所以a+b为偶数.与题意矛盾,所以a,b都是奇数不成立
假设a,b都是偶数,a=2m,b=2n(m,n为整数)
a+b=2m+2n=2(m+n),所以a+b为偶数.与题意矛盾,所以a,b都是偶数不成立
那么,只有当且仅当只有其中一个整数a或b为奇数时,a+b才为奇数.
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