在四棱锥P—ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,作AE⊥PB,垂足为E,求证:AE⊥PC.

题目

在四棱锥P—ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,作AE⊥PB,垂足为E,求证:AE⊥PC.
RT.

答案

过E作EF垂直PC于F,连接AF,AC
因为 PA垂直面ABCD,BC在面ABCD内
所以 PA垂直BC
因为 ABCD是矩形中 AB垂直BC
所以 BC垂直面ABP
因为 PB在面ABP内
所以 BC垂直PB
因为 EF垂直PC,角EPF=角CPB
所以 三角形EPF相似于三角形CPB
所以 PE/PC=PF/PB
因为 PA垂直面ABCD
所以 PA垂直AB,PA垂直AC
因为 AE垂直PB
所以 PA^2=PE*PB
因为 PE/PC=PF/PB
所以 PA^2=PF*PC,即 PA/PF=PC/PA
因为 角APF=角CPA,PA/PF=PC/PA
所以 三角形APF相似于三角形CPA
所以 角AFP=角PAC
因为 PA垂直AC
所以 角PAC=90度
因为 角AFP=角PAC
所以 角AFP=90度
所以 AF垂直PC
因为 EF垂直PC
所以 PC垂直面AEF
因为 AE在面AEF内
所以 AE垂直PC