在正方体ABCD-A?1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点

题目

在正方体ABCD-A?1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点
1.求证：D1F垂直于平面ADE
2.求A1B和B1C的夹角

答案

证明找AB的中点H,连接A1H,
因为AD垂直于面DD1CC1,又D1F在面DD1CC1上,
所以,
因为H、E分别是AB、B1B的中点,而AA1B1B又是正方形,
所以.（这是因为三角形ABE和AA1H全等,角HA1A=角BAE,而角HA1A+角AHA1=90,所以角BAE+角AHA1也=90,即A1H）
因为平行于A1H,所以
由可上知,AD垂直于D1F,D1F垂直于AE,一条直线平行于一个面的两条不平行直线,那么这条直线和这个面也平行.
所以,D1F垂直于平面ADE
（2）,连接D1C,由正方体可知,A1B平行于D1C,连接B1D1,
所以A1B和B1C的夹角就是B1C和D1C的夹角.
由图可知B1B=D1C=B1C,所以三角形B1D1C为等边三角形
所以B1C和D1C的夹角为60度
即A1B和B1C的夹角为60度
附：朋友,因为输入符号比较麻烦,所以很多地方都是用汉字写出的,你在看是,可以把这些汉字还原成数学符号,例如平行于为//.另外你要先画出一幅图,这是立体几何很重要的东西.