求极限,请高手指导.lim(x→+∞) [(sin1/x + cos1/x)]^x

题目

求极限,请高手指导.lim(x→+∞) [(sin1/x + cos1/x)]^x

答案

其实就是反复用这个lim（1+x）^1/x=e,(x->0,e为一个常数)结论求 1^无穷大 的类型
在x->无穷大的前提下 令 t=1/x(方便描述)t—>0
用到了等价无穷小 sint～tant～t,以及 1-cost～1/2 t^2
lim （sint+cost）^(1/t)= lim 【(1+tant)cost】^（1/t）
= lim (1+tant)^(1/t) * lim (cost)^(1/t)
此时化成了两个 1的无穷大次方的类型
lim (1+tant)^(1/t) = lim （1+tant）^【(1/tant)*tant/t】
=e^1=e
lim (cost)^(1/t)=lim（1+（cost-1））^{【1/(cost-1)】*(cost-1)/t}
=lim e^(-1/2 *t)
=1
综合上述可知 结果为 e.