已知抛物线C的顶点在原点,焦点在X轴上且抛物线C上的点P(2,m)到焦点F的距离为3,斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点,设满足AB模＝3√5求抛物线和直线l方程

题目

已知抛物线C的顶点在原点,焦点在X轴上且抛物线C上的点P(2,m)到焦点F的距离为3,斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点,设满足AB模＝3√5求抛物线和直线l方程

答案

由题意知,抛物线为焦点在x轴上的抛物线.
（1）∴设y^2=2px（p>0）焦点坐标（p/2,0）
∵抛物线上的一点到焦点的距离等于这点到抛物线准线的距离（准线：x=-p/2）
∴√[（2-p/2）^2+m^2]=2-(-p/2)=3
∴p=2 m=2√2
∴抛物线方程为y^2=4x
（2）设A（x1,y1）B（x2,y2）
A、B均满足y^2=4x 设直线为y=2x+b
∴y1^2=4x1
y2^2=4x2
两式相减 （y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）
因为斜率为2 所以 （y1-y2）/（x1-x2）=2 ∴y1+y2=2
将直线与抛物线方程联立得：4x^2+（4b-4）x+b^2=0
|AB|=3√5=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2] ①
由联立式得：x1+x2=1-b x1x2=b^2/4 y1y2=4x1x2+2b(x1+x2)+b^2
将以上三个式子带入①得：b=-4
∴l为y=2x-4