定义在R上的函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数X都有f(X)=-f(x+3/2),且f(-1)=0,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2008)的值?

题目

定义在R上的函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数X都有f(X)=-f(x+3/2),且f(-1)=0,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2008)的值?
由f(x)=-f(x+3/2)怎样得到的f(x+3)=f(x)
由函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称怎样得到f(x)=-f(-3/2-x)

答案

f(x)=-f(x+3/2)=f[(x+3/2)+3/2]=f(x+3)
因为函数图象关于点（-3/4,0）成中心对称,则
函数上的任一一个点总是可以找到函数上的另一个点与它关于（-3/4,0）关于点（-3/4,0）成中心对称
所以设函数上的点为（x,f(x)）,则与它关于点（-3/4,0）中心对称的点为（t,f(t)）
由中心对称得(x+t)/2=-3/4,f(x)+f(t)=0
所以得f(x)=-f(-3/2-x)