已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记Tn=a1b1+a2b2+…+
题目
已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明:Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).
答案
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由a
1=b
1=2,得a
4=2+3d,b
4=2q
3,s
4=8+6d,
由a
4+b
4=27,S
4-b
4=10,得方程组
,
解得
,
所以:a
n=3n-1,b
n=2
n.
(2)证明:由第一问得:T
n=2×2+5×2
2+8×2
3+…+(3n-1)×2
n; ①;
2T
n=2×2
2+5×2
3+…+(3n-4)×2
n+(3n-1)×2
n+1,②.
由①-②得,-T
n=2×2+3×2
2+3×2
3+…+3×2
n-(3n-1)×2
n+1=
-(3n-1)×2
n+1-2
=-(3n-4)×2
n+1-8.
即T
n-8=(3n-4)×2
n+1.
而当n≥2时,a
n-1b
n+1=(3n-4)×2
n+1.
∴T
n-8=a
n-1b
n+1(n∈N
*,n≥2).
(1)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项.
(2)先借助于错位相减法求出Tn的表达式;再代入所要证明的结论的两边,即可得到结论成立.
等差数列与等比数列的综合;数列的求和.
本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题.解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识,基本方法.并考察计算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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