实系数一元二次方程x2-ax+2b=0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）上，则2a+3b的取值范围是_．

题目

实系数一元二次方程x²-ax+2b=0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）上，则2a+3b的取值范围是______．

答案

设f（x）=x²-ax+2b，
因为实系数一元二次方程x²-ax+2b=0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）上，
所以：

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

⇒

b＞0 1−a+2b＜0 4−2a+2b＞0

．

由图得：Z=2a+3b过点B（1，0）时取最小值2，过点A（3，1）时取最大值9．
又因为不含边界，
故2a+3b∈（2，9）．
故答案为：（2，9）．

先根据实系数一元二次方程x²-ax+2b=0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）上，得到线性约束条件，画出可行域，把特殊点坐标代入即可求出结论．

本题考点：简单线性规划的应用．

考点点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布问题以及简单的线性规划，利用几何意义求最值，是对基础知识的综合考查．