求曲线y=x^2与直线y=2x所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

题目

求曲线y=x^2与直线y=2x所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

答案

求曲线y=x²与直线y=2x所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积
由x²-2x=x(x-2)=0,得x₁=0,x₂=2；即直线与抛物线相交于O(0,0)和A(2,4).
曲线y=x²与直线y=2x所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=直线段OA绕x轴旋转形成的圆锥的体积-抛物线段OA绕x轴旋转所形成的侧面为抛物面的旋转体的体积
=(1/3)×π×4²×2-[0,2]∫π(x²)²dx
=(32/3)π-π[(x^5)/5]︱[0,2]=(32/3)π-(32/5)π=(64/15)π