急,求解一道高数极限题目,limx趋向于a,x-a分之cosx2-cosa2.

题目

急,求解一道高数极限题目,limx趋向于a,x-a分之cosx2-cosa2.

答案

利用和差化积公式:
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
lim(x→a) (cos²x-cos²a)/(x-a)
=lim(x→a) (cosx-cosa)(cosx+cosa)/(x-a)
=lim(x→a) -2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2](cosx+cosa)/(x-a)
=-4sinacosa*lim(x→a)sin[(x-a)/2]/(x-a)
=-2sinacosa*lim(x→a)sin[(x-a)/2]/[(x-a)/2]
=-sin2a
其中lim(x→a)sin[(x-a)/2]/[(x-a)/2]=1
由重要极限lim(x→0)sinx/x=1得到
考虑到这时0/0型极限,直接用L'Hospital法则也可以
分子分母同时对x求导
lim(x→a) (cos²x-cos²a)/(x-a)
=lim(x→a) (-2sinxcosx)/1
=-sin2a