lim x趋近无穷大 (n次根号a+n次根号b)/2)^n=?
题目
lim x趋近无穷大 (n次根号a+n次根号b)/2)^n=?
a>0,b>0
答案
设 f(n) = [(a^1/n+b^1/n)/2]^n ,ln f(n) = n * ln[(a^1/n+b^1/n)/2]
令 t=1/n,n->+∞,t->0,ln f(n) = ln[(a^t + b^t)/2] / t
当t->0时,a^t -1 t * lna,b^t - 1 t * lnb
(a^t + b^t)/2 ->1,ln[(a^t + b^t)/2] (a^t + b^t)/2 -1
lim(n->∞) ln f(n)
= lim(t->0) [(a^t + b^t)/2 -1] / t
= (1/2) lim(t->0) [(a^t -1)/ t + (b^t -1)/ t]
= (1/2) (lna + lnb) = ln (ab)^(1/2)
原式 = (ab)^(1/2)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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