已知Rt△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上的一点,以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,若AC=1,BC=3,则⊙O的半径为( ) A.12 B.23 C.34 D.45
题目
已知Rt△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上的一点,以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,若AC=1,BC=3,则⊙O的半径为( )
A.
B.
C.
D.
答案
方法一:
如图,连接OE,OF,
设圆的半径为R,
∴OE=OF=R,
∵以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,
∴四边形CEOF是正方形,
∴OF∥AC,
∴△OBF∽△ABC,
∴OF:AC=FB:BC,
∴BF=3R,
同理,AE=
R,
由勾股定理得,AO=
R,BO=
R,AB=
,
∵AO+BO=AB,
∴R=
.
方法二:连接CO,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,
∴S
△ACB=
×AC×BC=
,
∵S
△ACO+S
△COB=S
△ACB=
,
∴
×EO×1+
×FO×3=
,
解得:EO=
,
则⊙O的半径为
.
故选C.
如图,连接OE,OF,设圆的半径为R,OE=OF=R,根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形,从而得到OF∥AC,可得△OBF∽△ABC,可得OF:AC=FB:BC,由此可以把BF用R表示,同理AE也可以用R表示,然后由勾股定理得,AO=
R,BO=
R,AB=
,由此即可求出R.
切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
本题利用了切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理求解,有一定的难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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