如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,CD为AB边上的高,DE垂直AC于点E,三角形ADE的中线AG的延长线交BC于点F
题目
如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,CD为AB边上的高,DE垂直AC于点E,三角形ADE的中线AG的延长线交BC于点F
(1)若CF=FG,求证:FG=1/3AF (2)在(2)的条件下,若AC=6倍根号2,求DE的长
答案
第一个问题:
延长CG交AB于H.
∵BC⊥AC、DE⊥AC,∴BC∥DE,∴EG/DG=CF/BF,而EG=DG,∴CF=BF,又CF=FG,
∴CF=FG=BF,∴点F是△BCG的外接圆圆心,∴BC是△BCG的外接圆直径,∴BG⊥CG.
由BD⊥CD、BG⊥CG,得:B、C、G、D共圆,∴∠DGH=∠CBH.
∵BC∥DE,∴∠BCH=∠CGE=∠DGH=∠CBH,∴BH=CH.
∵AC⊥BC,∴∠ACH+∠BCH=∠CAH+∠CBH,∴∠ACH=∠CAH,∴AH=CH.
由BH=CH、AH=CH,得:AH=BH.
∵AH=BH、CF=BF,∴G是△ABC的重心,∴FG=(1/3)AF.
第二个问题:你是不是将在(1)的条件下写成了在(2)的条件下?若是这样,则方法如下:
∵FG=(1/3)AF,又CF=FG,∴CF=(1/3)AF.
由勾股定理,有:AF^2=CF^2+AC^2,∴AF^2=(1/9)AF^2+36×2,
∴(8/9)AF^2=36×2,∴AF=9,∴CF=FG=(1/3)AF=3,∴AG=6.
∵EG∥CF,∴△AEG∽△ACF,∴EG/CF=AG/AF,∴EG=CF×AG/AF=3×6/9=2,
∴DE=2EG=4.
注:若第二个问题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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