双曲线过A(-2,4)B(4,4).F1(1,0)是它的一焦点,则另一焦点轨迹方程?

题目

双曲线过A(-2,4)B(4,4).F1(1,0)是它的一焦点,则另一焦点轨迹方程?

答案

解:设另一焦点的坐标是F2(x,y),由双曲线的定义有
||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||
即|5-√(x+2)^2+(y-4)^2|=|5-√(x-4)^2+(y-4)^2|
∴√(x+2)^2+(y-4)^2=√(x-4)^2+(y-4)^2 ①
或√(x+2)^2+(y-4)^2+√(x-4)^2+(y-4)^2=10 ②
①式两边平方并化简得x=1
②式移项得√(x+2)^2+(y-4)^2=10-√(x-4)^2+(y-4)^2
平方并化简,5√(x-4)^2+(y-4)^2=28-3x
再平方化简,得到[(x-1)^2]/25+[(y-4)^2]/16=1
又∵F2与F1不重合
∴焦点F2的轨迹是直线x=1与椭圆[(x-1)^2]/25+[(y-4)^2]/16=1,但应排除掉点(1,0).