已知函数fx=4x²-4ax+a²-2a+2的定义域为[0,2]

题目

已知函数fx=4x²-4ax+a²-2a+2的定义域为[0,2]
求函数fx的最小值g（a）
求函数fx的最大值h（a）
求函数g（a）的值域

答案

f(x) = (4x²-4ax+a²)-2a+2 = (2x - a)² -2a + 2
此为开口向上,对称轴为x = a/2的抛物线.
(i) a < 0
对称轴在定义域左边,定义域内为抛物线右支
最小值 g(a) = f(0) = a² -2a + 2 = (a - 1)² + 1
最大值 h(a) = f(2) = a² -10a + 18
g(a)的值域:(2,+∞)
(ii) 0 ≤ a ≤ 1
对称轴在定义域左一半或正中央
最小值 g(a) = f(a/2) =2(1-a)
最大值 h(a) = f(2) = a² -10a + 18
g(a)的值域:[0,2]
(iii) 1 < a ≤ 2
对称轴在定义域右一半
最小值 g(a) = f(a/2) =2(1-a)
最大值 h(a) = f(0) = a² -2a + 2
g(a)的值域:[-2,0)
(iv) a > 2
对称轴在定义域右边,定义域内为抛物线左支
最小值 g(a) = f(2) = a² -10a + 18 = (a - 5)² - 7
最大值 h(a) = f(0) = a² -2a + 2
g(a)的值域[-7,+∞)