当x趋于正无穷时,lim f(x)=1.那么,连续函数f(x)在（0,正无穷）区间是有界的么?怎么证明

题目

当x趋于正无穷时,lim f(x)=1.那么,连续函数f(x)在（0,正无穷）区间是有界的么?怎么证明

答案

不一定
举例说明：设f(x)=1+(1/x),满足当x趋于正无穷时,lim f(x)=1,且在（0,正无穷）上连续,但是在 x = 0 点函数无界.
因为当x 趋于 0+ 时,lim f(x)=正无穷,所以函数无界.
说明：只有在闭区间连续的函数才有界.
如果增加条件当x趋于正无穷时,lim f(x)=1.那么在半闭半开区间[0,正无穷）上连续的函数有界.