已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF． （1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，

题目

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．

（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．

答案

（1）作FM⊥CD于M，
可证△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴AE=DH=6-2=4，
DG=AH=2，
∴△FCG的面积=

1

2

×6×2＝6；
（2）可证△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

＝

DH

AE

，即

DG

2

＝

4

x

，
∴DG＝

8

x

，
∴y=△FCG的面积=

1

2

×(8−

8

x

)×2＝8−

8

x

，
∵

8− 8 x ＞0 x≤8

，
∴1＜x≤8，
∴当x=8时，y的最大值为7．

（1）要求AE的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值

本题考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了矩形的性质及相似和全等三角形的判定．