求矩阵特征值

题目

求矩阵特征值
A=2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2

答案

解一:
特征多项式f(t)=|t*E-A|=0
此即得关于t的一元三次方程.
求解三个t值即是.可能有重根.
或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一样的.
解二:
|A+t*E|=0
解此关于t的一元三次方程.
求解三个t值.可能有重根.
再取相反数即是所求.
这样在计算是方便一点点.
解三参考:
以下tr表示矩阵的迹(即主对角线元素之和); A*表示伴随阵; det表示行例式的值.
特征多项式f(t)=|t*E-A| 习惯上一般用λ.为了打字方便有时我用t.
如果A是1阶矩阵,易见特征值就是A本身.
如果A是2阶矩阵,特征多项式可以写为λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是3阶矩阵,特征多项式可以写为λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中tr(A*)=各阶主子行列式之和.
如果A是4阶矩阵,特征多项式可以写为λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.
于是
A=
2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2
故
A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1
很显然A=(t+1)^3,有三重根-1.
即矩阵有三重特征值 -1