求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.

求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.

题目
求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.
答案
法一:若a=0,则方程即为-x+1=0,
∴x=1满足条件;
若a≠0,∵△=(a2+a+1)2-4a(a+1)
=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0,
∴方程一定有两个实根.
故而当方程没有正根时,应有
a2+a+1
a
≤0
a+1
a
≥0
,解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a>-1且a≠0,
综上,方程有一正根的充要条件是a>-1.
方法二:若a=0,则方程变为-x+1=0,x=1满足条件,若a≠0,
则方程至少有一个正根等价于
a+1
a
<0或
a+1=0
a2+a+1
a
>0

a2+a+1
a
>0
a+1
a
>0
(a2+a+1)2−4a(a+1)≥0

⇔-1<a<0或a>0.
综上:方程至少有一正根的充要条件是a>-1.
法一:对a-0和a≠0进行分类讨论,至少有一个正根△≥0解出无正根的情况即可.
法二:对a-0和a≠0进行分类讨论,至少有一个正根,列出它的所有情况一一求解即可.

一元二次方程的根的分布与系数的关系.

本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查分类讨论的思想,是中档题.

举一反三
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