1的立方+2的立方+3的立方+...

题目

1的立方+2的立方+3的立方+...

答案

1^3=1^2
1^3+2^3=3^2
1^3+2^3+3^3=6^2
1^3+2^3+3^3+4^3=10^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2
...
1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3=[1+2+...+（n-1）+n]^2
=[n(n+1)/2]^2
数学归纳法证明
Sn=1^3+2^3+3^3+……+n^3
Tn=1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 （这个知道吧）
Rn=1+2+3+……+n=n(n+1)/2
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-1)^3-6(n-1)^2+4(n-1)-1
……
3^4-2^4=4×3^3-6×3^2+4×3-1
2^4-1^4=4×2^3-6×2^2+4×2-1
这n-1式相加得
n^4-1=4(Sn-1)-6(Tn-1)+4(Rn-1)-(n-1)
整理得
Sn=n^2×(n+1)^2/4
=[n(n+1)/2]^2