有理数的证明

题目

有理数的证明
求证：1）1.21306是有理数
2）三次根号3是无理数
3）三次根号2-根号3是无理数

答案

证明：
1)因为 1.21306=121306/100000,
所以 1.21306是有理数.
2)假设三次根号3是有理数,则存在互质的两个正整数p,q,使得
三次根号3=p/q.
所以 3=p^3/q^3,
即 p^3=3q^3.
所以 3|p^3.
所以 3|p,即p=3r,k是正整数.
所以 27r^3=3q^3.
即 q^3=9r^3.
所以 3|q.
所以 p,q有公因子3,与p,q互质矛盾.
所以 假设不成立,即三次根号3是无理数.
3) i)先证根号3是无理数.
假设根号3是有理数,则存在互质的两个正整数m,n,使得
根号3=m/n.
所以 3=m^2/n^2,
即 m^3=3n^3.
所以 3|m^2.
所以 3|m,即m=3k,k是正整数.
所以 9k^2=3n^2.
即 n^2=3k^2.
所以 3|n.
所以 m,n有公因子3,与m,n互质矛盾.
所以 假设不成立,即根号3是无理数.
ii)再证(三次根号2-根号3)是无理数.
令 x=三次根号2-根号3,则
三次根号2=x+根号3.
两边立方,得
2=x^3+3(根号3)x^2+9x+3(根号3).
即
(根号3)=(2-9x)/[3(x^2+1)].
假设 x是有理数,则
(根号3)=(2-9x)/[3(x^2+1)]
是有理数,与根号3是无理数矛盾.
所以假设不成立,即
(三次根号2-根号3)是无理数.
= = = = = = = = =
说明：
1.用第三问的方法可以证明：
根号(p),(p是质数）是无理数.
2.用第二问的方法可以证明：
n次根号(p),(p是质数）是无理数.
3.第三问中,如果用 根号3=三次根号2-x,
那么两边平方后：3=三次根号4-2*三次根号2+x^2.
里面出现两个无理数,证明更麻烦.