如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_.

如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_.

题目
如图,在锐角△ABC中,AB=4
2
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.
答案
如图,在AC上截取AE=AN,连接BE.
∵∠BAC的平分线交BC于点D,
∴∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,
AE=AN
∠EAM=∠NAM
AM=AM

∴△AME≌△AMN(SAS),
∴ME=MN.
∴BM+MN=BM+ME≥BE.
∵BM+MN有最小值.
当BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,
又AB=4
2
,∠BAC=45°,此时,△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=4,
即BE取最小值为4,
∴BM+MN的最小值是4.
故答案为:4.
从已知条件结合图形认真思考,通过构造全等三角形,利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值.

轴对称-最短路线问题;角平分线的性质.

本题考查了轴对称的应用.易错易混点:解此题是受角平分线启发,能够通过构造全等三角形,把BM+MN进行转化,但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误.
规律与趋势:构造法是初中解题中常用的一种方法,对于最值的求解是初中考查的重点也是难点.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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