求函数y=x/1+x²在闭区间[-1,1]上的最大值和最小值

题目

求函数y=x/1+x²在闭区间[-1,1]上的最大值和最小值

答案

解设x1,x2属于(-1,1),其x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1（1+x2^2）-x2（1+x1^2）]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1）]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由x1,x2属于[-1,1],
知x1x2＜1
即1-x1x2＞0
又由x1-x2＜0
知(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)＜0
即f(x1)-f(x2)＜0
即f(x)在[-1,1]上是增函数,
故当x=1时,y有最大值f（1）=1/2
当x=-1时,y有最小值f（-1）=-1/2