已知椭圆M：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）圆F：（x+c）2+y2=（a-c）2,c为椭圆的半焦距.过点p（a-2a2/c,0）作直线L与椭圆M交于A,C两点,当直线L与圆F切与x轴上方一点

题目

已知椭圆M：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）圆F：（x+c）2+y2=（a-c）2,c为椭圆的半焦距.过点p（a-2a2/c,0）作直线L与椭圆M交于A,C两点,当直线L与圆F切与x轴上方一点B时,直线L的斜率为 根号15/15
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△AFC的面积最大值为 根号5,求椭圆方程.

第一题应该是2/3
求第二题详解.

答案

因为当直线L与圆F切于x轴上方一点B时,直线L的斜率为 1/√15
所以(a-c)/(2a²/c-2a)=1/4
所以a²-3ac+2c²=0
所以a=2c(其中a=c舍去)
所以e=1/2

e=1/2 b²=3a²/4 3x²+4y²-3a²=0
e=1/2 p（-3a,0）
设L：y=k(x+3a)
联立 3x²+4y²-3a²=0
y=k(x+3a)
得,(4k²+3)x²+24ak²x+36a²k²-3a²=0
S△AFC=S△PFC-S△AFP
=|PC|*|y1-y2|÷2
=|PC|*|k(x1-3a)-k(x2-3a)|÷2
=(5a/4)*√[k²(x1+x2)²-4k²x1x2]
=(5a²/2)*√(3/4)*√{[1-3/(4k²+3)][27/(4k²+3)-8]}
≤a²√3/8=√5
所以椭圆方程3x²+4y²-8√15=0