已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A、B两点,|AB|=23,求抛物线方程.
题目
已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x
2+y
2=4相交于A、B两点,|AB|=2
,求抛物线方程.
答案
由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为:y
2=ax(a≠0). (2分)
设抛物线与圆x
2+y
2=4的交点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).
∵抛物线y
2=ax(a≠0)与圆x
2+y
2=4都关于x轴对称,
∴点A与B关于x轴对称,
∴|y
1|=|y
2|且|y
1|+|y
2|=2
,(6分)
∴|y
1|=|y
2|=
,代入圆x
2+y
2=4得x
2+3=4,
∴x=±1,(8分)
∴A(±1,
)或A(±1,-
),代入抛物线方程,得:(
)
2=±a,∴a=±3.(10分)
∴所求抛物线方程是:y
2=3x或y
2=-3x.(12分)
注:少一种情况扣(4分).也可分类讨论.
设抛物线方程y
2=ax(a≠0),利用抛物线与圆x
2+y
2=4都关于x轴对称,求出A,B的坐标,利用|AB|=2
,即可求抛物线方程.
圆与圆锥曲线的综合.
本题考查抛物线与圆的位置关系,考查图形的对称性,考查学生的计算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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