设α,β是方程4x²-4mx m 2＝0,x∈R的两实根,当m为何值时,α²+β²有最小值?求出这个最小值

题目

设α,β是方程4x²-4mx m 2＝0,x∈R的两实根,当m为何值时,α²+β²有最小值?求出这个最小值

答案

方程4x²-4mx+ m +2＝0
△=16m²-16（m+2）≥0
即m≤-1,或m≥2
α+β=m,αβ=(m+2)/4
α²+β²
=(α+β)²-2αβ
=m²-(m+2)/2
=(m-1/4)²-17/16
因为m的取值范围在m≤-1,或m≥2
所以,当m=-1时,α²+β²有最小值,
最小值=(-1-1/4)²-17/16=1/2