已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.

题目

已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.
问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.

答案

做F2（4,0）关于直线x+y=8的对称点A（m,n）,连接F1A,与直线x+y=8的交点即为满足条件的M,
F2A的中点坐标为：（2+m/2,n/2）,其在x+y=8上,代入有：
2+m/2+n/2=8,∴m+n=12 ①
又F2A与直线x+y=8垂直,则F2A的斜率k=1,即n/(m-4)=1,∴n=m-4 ②
联立①、②得m=8,n=4,即A（8,4）,
∴F1A的直线方程为：x-3y+4=0,联立其与x+y=8,解得x=5,y=3,即M（5,3）,
此时椭圆的长轴长2a=|F1A|=4√10
∴a=2√10,
∴a²=40,又c=4,∴b²=a²-c²=40-16=24
∴椭圆方程为：x²/40+y²/24=1