证明lim[x→a]x^2=a^2 lim[x→a]cosx=cosa

题目

证明lim[x→a]x^2=a^2 lim[x→a]cosx=cosa
用ε—σ定义证明上式.

答案

【一】
求证：lim(x->a) x^2= a^2
证明：
① 对任意 ε>0 ,
要使： |x^2-a^2|< ε 成立,
令: |x-a|a) cosx = cosa
证明：
① 对任意 ε>0 ,
要使 | cosx - cosa| < ε 成立,
即只要满足： |cosx - cosa| = |-2sin[(x+a)/2]*sin[(x-a)/2]|
≤|2sin[(x-a)/2]| ≤|2[(x-a)/2]| =|x-a|< ε 即可.

② 故存在 δ = ε > 0
③ 当 | x-a |< δ (=ε) 时,

④ 恒有：|cosx - cosa | < ε 成立.
∴ lim(x->a) cosx = cosa