已知x=1是f(x)=2x+b/x+lnx的一个极值点 (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)设g(x)=f(x)-3/x,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.
题目
答案
(1)∵x=1是f(x)=2x+
+lnx的一个极值点,
f′(x)=2-
+
,
∴f′(1)=0,即2-b+1=0,
∴b=3,经检验,适合题意,
∴b=3.
由f′(x)=2-
+
<0,得
<0,∴-
<x<1,
又∵x>0(定义域),
∴函数的单调减区间为(0,1].
(2)g(x)=f(x)-
=2x+lnx,
设过点(2,5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x
0,y
0),
∴
=g′(x0),
即2x
0+lnx
0-5=(2+
)(x
0-2),
∴lnx
0+
-5=(2+
)(x
0-2),
∴lnx
0+
-2=0,
令h(x)=lnx+
-2,
h′(x)=
-
=0,∴x=2.
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
∵h(
)=2-ln2>0,h(2)=ln2-1<0,h(e
2)=
>0,
∴h(x)与x轴有两个交点,
∴过点(2,5)可作2条直线与曲线y=g(x)相切.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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