导函数 原函数 可积 可导 连续 存在原函数 相互之间的关系

题目

导函数 原函数 可积 可导 连续 存在原函数 相互之间的关系

答案

①可导与导函数
可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数,此外还函数可以在某处可导；只要一个函数在定义域内某一点不可导,那么就不存在导函数,即使该函数在其他各处均可导.
②可积与原函数
对于不定积分：
[同济五版(上)]给出的定义是：
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的.
对于定积分：
同济五版对定积分可积有给出两个充分条件
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.(因为连续函数的原函数必存在!反之不成立.）
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
函数在某个区间存在原函数,那么根据牛顿莱布尼兹公式,函数在这个区间存在定积分；
函数在某个区间[a,b]存在定积分,则不能确定函数在这个区间上存在圆函数.
③可导与连续
函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导.
④连续与可积
如果函数在某区域连续,那么函数在该区域可积；反之,如果函数在某个区域可积,不能保证函数在该区域连续.比如存在第一类间断点的函数不连续,但可积.