设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
题目
设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
答案
(1)∵a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=2
n①,
∴n≥2时,a
1+2a
2+3a
3+…+(n-1)a
n-1=2
n-1②
①-②得na
n=2
n-1,a
n=
(n≥2),在①中令n=1得a
1=2,
∴a
n=
(2)∵b
n=
.
则当n=1时,S
1=2
∴当n≥2时,S
n=2+2×2+3×2
2+…+n×2
n-1则2S
n=4+2×2
2+3×2
3+…+(n-1)•2
n-1+n•2
n相减得S
n=n•2
n-(2+2
2+2
3+…+2
n-1)=(n-1)2
n+2(n≥2)
又S
1=2,符合S
n的形式,
∴S
n=(n-1)•2
n+2(n∈N
*)
(1)根据题意,可得a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=2n-1,两者相减,可得数列{an}的通项公式.
(2)根据题意,求出bn的通项公式,继而求出数列{bn}的前n项和Sn.
数列递推式;数列的求和.
此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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