函数f(x)=(x-1)/(ax+1)(a≠0,且a≠﹣1,)已知函数h(x)=f(2的x次方)且函数y=h(x)为奇函数,求a的值

题目

函数f(x)=(x-1)/(ax+1)(a≠0,且a≠﹣1,)已知函数h(x)=f(2的x次方)且函数y=h(x)为奇函数,求a的值
在上述条件下,记g(x)=h(x-1)+1,计算g(-1)+g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=?

答案

解1：
f(x)=(x-1)/(ax+1)
h(x)=f(2^x)
因此,h(x)=(2^x-1)/[a(2^x)+1]
已知：y=h(x)为奇函数,
所以：h(-x)=-h(x)
[2^(-x)-1]/{a[2^(-x)]+1}=-(2^x-1)/[a(2^x)+1]
[1/(2^x)-1]/[a/(2^x)+1]=(1-2^x)/[a(2^x)+1]
[(1-2^x)/(2^x)]/[(a+2^x)/(2^x)]=(1-2^x)/[a(2^x)+1]
(1-2^x)/(a+2^x)=(1-2^x)/[a(2^x)+1]
a+2^x=a(2^x)+1
a(1-2^x)=1-2^x
a=1
解2：
将a=1,代入h(x),有：
h(x)=(2^x-1)/[(2^x)+1]
已知：g(x)=h(x-1)+1
即：g(x)=[2^(x-1)-1]/[2^(x-1)+1]+1
g(x)=[(2^x)/2-1]/[(2^x)/2+1]+1
g(x)={[(2^x)-2]/2}/{[(2^x)+2]/2}+1
g(x)=[(2^x)-2]/[(2^x)+2]+1
g(x)=[(2^x)-2+(2^x)+2]/[(2^x)+2]
g(x)=2(2^x)/(2+2^x)
g(-1)+g(0)+g(1)+g(2)+g(3)
=2[2^(-1)]/[2+2^(-1)]+2(2^0)/(2+2^0)+2(2^1)/(2+2^1)+2(2^2)/(2+2^2)+2(2^3)/(2+2^3)
=1/(5/2)+2/3+4/4+8/6+16/10
=2/5+2/3+1+4/3+8/5
=2/5+8/5+2/3+4/3+1
=2+2+1
=5