如图,以△ABC的各边向同侧作正△ABD,BCF,ACE. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)当△ABC是_三角形时,四边形AEFD是菱形; (3)当∠BAC=_时,四边形AEFD是矩形

如图,以△ABC的各边向同侧作正△ABD,BCF,ACE. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)当△ABC是_三角形时,四边形AEFD是菱形; (3)当∠BAC=_时,四边形AEFD是矩形

题目
如图,以△ABC的各边向同侧作正△ABD,BCF,ACE.

(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)当△ABC是______三角形时,四边形AEFD是菱形;
(3)当∠BAC=______时,四边形AEFD是矩形;
(4)当∠BAC=______时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
答案
(1)证明:∵△BCF和△ACE是等边三角形,
∴AC=CE,BC=CF,∠ECA=∠BCF=60°,
∴∠ECA-∠FCA=∠BCF-∠FCA,
即∠ACB=∠ECF,
∵在△ACB和△ECF中
AC=CE
∠ACB=∠ECF
BC=CF

∴△ACB≌△ECF(SAS),
∴EF=AB,
∵三角形ABD是等边三角形,
∴AB=AD,
∴EF=AD=AB,
同理FD=AE=AC,
即EF=AD,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)当△ABC是等腰三角形时,平行四边形AEFD是菱形,理由如下:
∵由(1)知:四边形AEFD是平行四边形,EF=AD=AB,FD=AE=AC
∴AB=AC,
∴EF=FD,
∴平行四边形AEFD是菱形,
故答案为:等腰.
(3)当∠BAC=150°时,平行四边形AEFD是矩形,理由如下:
∵△ADB和△ACE是等边三角形,
∴∠DAB=∠EAC=60°,
∵∠BAC=150°,
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°,
∵由(1)知:四边形AEFD是平行四边形,
∴平行四边形AEFD是矩形,
故答案为:150°.
(4)当∠BAC=60°时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在,理由如下:
∵∠DAB=∠EAC=60°(已证),∠BAC=60°,
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°,
∴D、A、E三点共线,
即边DA、AE在一条直线上,
∴当∠BAC=60°时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在,
故答案为:60°.
(1)根据等边三角形性质得出AC=CE,BC=CF,∠ECA=∠BCF=60°,推出∠ACB=∠ECF,证△ACB≌△ECF,推出EF=AB,得出EF=AD=AB,同理FD=AE=AC,根据平行四边形的判定即可推出答案;
(2)根据EF=AD=AB,FD=AE=AC,添加上AC=AB,推出EF=FD,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可得出答案;
(3)根据∠DAB=∠EAC=60°和∠BAC=150°求出∠DAE=90°,根据矩形的判定推出即可;
(4)根据∠DAB=∠EAC=60°,∠BAC=60°,求出∠DAE=180°,得出D、A、E三点共线,即可得出答案.

矩形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.

本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定,等边三角形的性质等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.

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