已知直线y=ax+2与椭圆3x²+y²=1交于两点A、B两点,是否存在以AB为直径且过坐标原点的圆?

题目

已知直线y=ax+2与椭圆3x²+y²=1交于两点A、B两点,是否存在以AB为直径且过坐标原点的圆?
若存在求出a的值,若不存在,请说明理由

答案

存在.理由如下：
直线代入椭圆整理得
（3+a²）x²+4ax+3=0
∴x1+x2=-4a/(3+a²） x1x2=3/(3+a²）
y1+y2=-4a²/(3+a²）+4=12/(3+a²） y1y2=3a²/(3+a²）-8a²/(3+a²）+4=（12-a²)/(3+a²）
AB的中点即圆心（-2a/(3+a²）,6/(3+a²））
AB²=（x1-x2)²+（y1-y2)²=（x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2=16a²/(3+a²)²-12/(3+a²）+144/(3+a²)²+（4a²-48）/(3+a²）=（4a^4-32a²-36）/(3+a²）²
题意得
4a²/(3+a²）²+36/(3+a²）²=1/4AB=（a^4-8a²-9）/(3+a²）
∴a=根号15或者a=-根号15