已知数列{an}中，a1=5/6，a2=19/36并且数列log2（a2-a13），log2（a3-a23），…，log2（an+1-an3）是公差为-1的等差数列，而a2-a12，a3-a22，…，

题目

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

答案

∵数列{log₂（a_n+1-

an

3

）}是公差为-1的等差数列，
∴log₂（a_n+1-

an

3

）=log₂（a₂-

1

3

a₁）+（n-1）（-1）=log₂（

19

36

-

1

3

×

5

6

）-n+1=-（n+1），
于是有a_n+1-

an

3

=2^-（n+1）．①
又∵数列{a_n+1-

1

2

a_n}是公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n+1-

1

2

a_n=（a₂-

1

2

a₁）•3^-（n-1）
=（

19

36

-

1

2

×

5

6

）•3^-（n-1）=3^-（n+1）．
于是有a_n+1-

1

2

a_n=3^-（n+1）．②
由①-②可得

1

6

a_n=2^-（n+1）-3^-（n+1），
∴a_n=

3

2n

-

2

3n

．