函数y=log二分之一为底(3-x)(1-x)为真数

题目

函数y=log二分之一为底(3-x)(1-x)为真数
求y=log二分之一为底数,真数为(3-X)(1-X)的定义域,单调减区间和值域

答案

说明：将以m为底x的对数,记为：log【m】x


y=log【1/2】(3-x)(1-x)
y={ln[(3-x)(1-x)]}/ln(1/2)
y={ln[(3-x)(1-x)]}/(-ln2)
y=(-1/ln2)ln[(3-x)(1-x)]
(3-x)(1-x)＞0
有：3-x＞0,1-x＞0………………(1)
或：3-x＜0,1-x＜0………………(2)
由(1)得：x＜1,由(2)得：x＞3
即,所求定义域为：x∈(-∞,1)∪(3,∞)
y=(-1/ln2)ln[(3-x)(1-x)]
y'=(2/ln2)(2-x)/[(3-x)(1-x)]
令：y'＞0,即：(2-x)/[(3-x)(1-x)]＞0
因为：(3-x)(1-x)＞0
所以：2-x＞0
解得：x＜2
考虑到y的定义域,有：x∈(-∞,1)时,y是单调增函数.
令：y'＜0,即：(2-x)/[(3-x)(1-x)]＜0
因为：(3-x)(1-x)＞0
所以：2-x＜0
解得：x＞2
考虑到y的定义域,有：x∈(3,∞)时,y是单调减函数.

以上结果,汇总如下：
y的定义域是：x∈(-∞,1)∪(3,∞)；
y的单调增区间是：x∈(-∞,1)；
y的单调减区间是：x∈(3,∞).