已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）． （1）求证：∠A=2∠B； （2）若a=3b，判断△ABC的形状．

题目

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a²=b（b+c）．
（1）求证：∠A=2∠B；
（2）若a=

3

b，判断△ABC的形状．

答案

（1）证明：a²=b（b+c），
即BC²=AC（AC+AB），
延长CA至D，使AD=AB，连接DB．
则∠BAC=2∠D．
∴BC²=AC•CD，

BC

AC

＝

CD

BC

，
又∠C=∠C，
∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．
∴∠BAC=2∠ABC；
（2）∵a=

3

b，
∴a²=3b²，
又a²=b（b+c），
∴3b²=b²+bc，c=2b．
∴a²+b²=4b²，
c²=（2b）²=4b²．
即a²+b²=c²．
△ABC为直角三角形．

（1）延长CA至D，使AD=AB，连接DB．根据a²=b（b+c）得到△BCA∽△DCB，然后由三角形中角的关系得答案；
（2）由a=

3

b结合a²=b（b+c）得到a²+b²=c²，说明△ABC为直角三角形．

本题考点：三角形的形状判断．

考点点评：本题考查了三角形形状的判断，训练了利用三角形相似求解三角形中角的关系，是中档题．