设A为n阶矩阵,且A不是零矩阵,且存在正整数k≥2,使A^k=0,证明：E-A可逆,且（E-A)=E+A+A^2+……A^k-1

题目

设A为n阶矩阵,且A不是零矩阵,且存在正整数k≥2,使A^k=0,证明：E-A可逆,且（E-A)=E+A+A^2+……A^k-1

答案

由性质直接证明
因为 (E-A)( E+A+A^2+……+A^(k-1) )
= E+A+A^2+…… +A^(k-1)
- A- A^2- …… - A^(k-1) - A^k
= E - A^k
= E
所以 E-A 可逆,且 (E-A)^(-1) = E+A+A^2+……+A^(k-1).