当x>0时,证明:不等式ex>1+x+1/2x2成立.

当x>0时,证明:不等式ex>1+x+1/2x2成立.

题目
当x>0时,证明:不等式ex>1+x+
1
2
x2成立.
答案
证明:令f(x)=ex−1−x−
1
2
x2

则f'(x)=ex-1-x,
再令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-1,
∵x>0,∴ex-1>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在[0,+∞)上为增函数,
由于x>0,则g(x)>g(0)=e0-1=0,即f'(x)>0,
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
由x>0知,f(x)>f(0)=e0−1−0−
1
2
×02=0

即ex-(1+x+
1
2
x2)>0,
∴ex>1+x+
1
2
x2,得证.
构造函数f(x)=ex−1−x−
1
2
x2
,通过计算发现f(0)=0,只需证明f(x)在[0+∞)上为增函数即可,问题转化为证明f'(x)>0,再令g(x)=f'(x),通过计算又发现g(0)=0,只需证明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,问题转化为证明g'(x)>0,而此式容易证明.

不等式的证明.

1.当求证不等式是由几个基本初等函数构成的比较复杂的条件不等式,可考虑通过构造新的函数,利用导数研究函数的单调性,从而达到证明的目的.
2.利用导数证明不等式是近几年高考的热点之一,证明f(x)>g(x)的一般步骤是:
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)求h'(x);
(3)判断h(x)的单调性;
(4)求h(x)的最小值或值域;
(5)证明[h(x)]min>0成立;
(6)得出结论.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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