已知f(x)=1+log以2为底X的对数,X属于[1,4],求g(x)=[f(x)]的2次方+f(2x)的最小值与最大值

题目

已知f(x)=1+log以2为底X的对数,X属于[1,4],求g(x)=[f(x)]的2次方+f(2x)的最小值与最大值

答案

f(x)=1+log2(x)=log2(2x)
f(2x)=1+log2(2x)
则g(x)=[log2(2x)]²+log2(2x)+1
令log2(2x)=t,
因为X属于[1,4],则：2X属于[2,8],则：log2(2x)属于[1,3],即t属于[1,3]；
g(x)=t²+t+1
开口向上,对称轴为t=-1/2的抛物线,定义域区间[1,3]在对称轴的右边
所以,在定义域上是递增的
所以,当t=1时,g(x)有最小值3；
当t=3时,g(x)有最大值13；