高数,旋转体体积的定积分表达式问题
题目
高数,旋转体体积的定积分表达式问题
y=x^2,y=x^2+1,y=2,y轴,绕y轴旋转一周
答案
y=x^2绕y轴一周的立体体积减去y=x^2+1绕y轴一周的立体体积分即可
将两曲线写为:x=√y,x=√(y-1)
dV1=π(√y)^2dy
则V1=π∫[0-->2](√y)^2dy
=π∫[0-->2]ydy
=π/2y^2 [0-->2]
=2π
dV2=π(√(y-1))^2dy
V2=π∫[1-->2](√(y-1))^2dy
=π∫[1-->2](y-1)dy
=π/2*y^2-πy [1-->2]
=π/2
因此所求体积为:V1-V2=2π-π/2=3π/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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