在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值

题目

在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值
1,在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值,并求圆锥最大值时圆锥的高
高h=4R/3,V最大=32πR^3/81
2,已知矩形ABCD中,AB=2,∠CAB=30度,将它沿对角线AC折起,使平面DAC⊥平面BAC,则此时线段BD的长为_____√30/3________
3,圆锥轴截面顶角的余弦是7/25,则它的侧面展开图的中心角度数为______216____________

答案

1 设内接圆锥的高为h,底面半径为r,体积为V,则V=π/3×r2×h=π/3×r2×（R+√（R2-r2)).令r=Rcosθ（0＜θ＜π/2）,于是V=π/3×R3×cos2θ（1+sinθ） =π/6×R3（2（1-sinθ）（1+sinθ）（1+sinθ） ＜=π/6×R3（（2（1-sinθ）+（1+sinθ）+（1+sinθ））/3）3 =32/81×πR3当且仅当2（1-sinθ）=1+sinθ,即sinθ=1/3时等号成立,这时h=R（1+sinθ）=4/3×R
那么圆锥半径r^2=R^2-(4R/3-R)^2=8R^2/9
体积=派*r^2*h/3=32派R^3/81
2 过D做DO垂直AC
则角DOB=90度
因为AB=2,∠CAB=30度
那么BC=2*tan30=2根号3/3
因为AD=BC
角DAO=60度
因此OA=AD*cos60=(2根号3/3)*(1/2)=根号3/3
OD=AD*sin60=1
根据余弦定理
OB^2=AO^2+AB^2-2AO*AB*cos30
=1/3+4-2*(根号3/3)*2*(根号3/2)
=7/3
BD^2=OB^2+OD^2=7/3+1=10/3
BD=根号30/3
圆锥轴截面顶角的余弦是7/25
设母线长为l
由余弦定理
圆锥底面直径的平方p^2=l^2+l^2-2l^2*(7/25)=36*l^2/25
底面直径=6l/5
半径=3l/5
底面周长=2派*(3l/5)=6派l/5
所以侧面展开图的中心角=(6派l/5)/l=6派/5
6派/5=216度
所以侧面展开图的中心角度数为216度