已知a、b为实数,且a不等于b.求证：（1）a的4次方+b的4次方大于a的3次方b+ab的3次方

题目

已知a、b为实数,且a不等于b.求证：（1）a的4次方+b的4次方大于a的3次方b+ab的3次方
（2）a的2次方+b的2次方大于等于ab+a+b-1

答案

(1)a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2(a^2+b^2+ab)大于等于0
因为a不等于b,所以a的4次方+b的4次方大于a的3次方b+ab的3次方.
(2)2(a²+b²)-2(ab+a+b-1)
=2a²+2b²-2ab-2a-2b+2
=(a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1)
=(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²>0,
所以a的2次方+b的2次方大于等于ab+a+b-1