已知P为抛物线Y=1/2x²上的动点.点P在X轴上的射影为M,点A的坐标是（6,17/2）,则PA+PM的最小值是?

题目

已知P为抛物线Y=1/2x²上的动点.点P在X轴上的射影为M,点A的坐标是（6,17/2）,则PA+PM的最小值是?

答案

为书写方便,去掉绝对值号：（本题不需要求P0的值,为理解方便,故求出）
Y=1/2x² 焦点F（0,0.5）,准线 y=-0.5 ,延长PM交准线于H点.则 PA=PH
PM=PH-0.5=PA-0.5
PM+PA=PF+PA-0.5,我们只有求出 PF+PA 最小值即可.
由三角形两边长大于第三边可知,PF+PA>= FA (直线段),（式1）
设直线FA与 抛物线交于P0点,可计算得P0 （3,4.5）,另一交点（-1/3,1/18）舍去.
当P重合于P0时,（式1）可取得最小值,可计算得FA=10.
则所求为 PM+PA=9.5 
注：图中A点坐标写错了,应为（6,17/2）